Movimento browniano forex

Indicador de movimento browniano do Dekalog.
O Dekalog Blog é um site interessante onde o autor, Dekalog, tenta desenvolver maneiras novas e únicas de aplicar a análise quantitativa à negociação. Em um post recente, ele discutiu o uso do conceito de movimento browniano de uma forma que criaria bandas em torno dos preços de fechamento de um gráfico. Essas bandas representariam períodos sem tendência, e um trader poderia identificar qualquer momento em que o preço estivesse fora das bandas como um período de tendência.
O método do Dekalog de usar o Brownian Motion cria bandas superiores e inferiores que definem as condições de tendência.
Na raiz da maioria das tendências, o sistema de negociação é uma maneira de definir uma existência de tendências e determinar sua direção. Usar a ideia de movimento browniano do Dekalog como a raiz de um sistema pode ser uma maneira única de identificar tendências e extrair lucros dos mercados por meio dessas tendências.
Aqui está como Dekalog explica seu conceito:
A premissa básica, tirada do movimento browniano, é que o registro natural de preço muda, em média, a uma taxa proporcional à raiz quadrada do tempo.
Tomemos, por exemplo, um período de 5 até a barra atual. & # 8221; Se tomarmos uma média móvel simples de 5 períodos das diferenças absolutas do log dos preços durante este período, obtemos um valor para o movimento médio de preços de 1 bar ao longo deste período.
Este valor é então multiplicado pela raiz quadrada de 5 e adicionado e subtraído do preço 5 dias atrás para obter um limite superior e inferior para a barra atual.
Ele então aplica esses limites superior e inferior ao gráfico:
Se a barra atual estiver entre os limites, dizemos que o movimento de preços nos últimos 5 períodos é consistente com o movimento browniano e declara ausência de tendência, ou seja, um mercado lateral.
Se a barra atual estiver fora dos limites, declaramos que o movimento do preço nas últimas 5 barras não é consistente com o movimento Browniano e que uma tendência está em vigor, para cima ou para baixo, dependendo de qual limite a barra atual está além.
A Dekalog também acredita que esse conceito poderia ter valor além de ser apenas um indicador:
É fácil imaginar muitos usos para isso em termos de criação de indicadores, mas pretendo usar os limites para atribuir uma classificação de aleatoriedade / tendência de preço ao longo de vários períodos combinados para atribuir movimento de preço a posições para posterior criação de série de preço sintético de Monte Carlo .
onde está o download deste indicador para o mt4?
Andrew Selby diz.
Eu tenho certeza que Shaun poderia trabalhar com você na codificação de algo assim para o MT4 se você estiver interessado!
Oi Mike, não há download disponível. Estamos compartilhando as ideias.
Tenho certeza de que seria fácil traduzir isso para o código MT4.
Isto é muito interessante. Lembro-me de ler sobre isso há muitos anos no livro The Ocean Theory, de Jim Sloman. Qualquer coisa que possa reduzir a subjetividade nas decisões de negociação é um ponto positivo, e seria interessante ver um indicador MT4 construído em torno desse código.
Nós vamos escrevê-lo como um brinde MT4 se pessoas o suficiente pedirem. Deixe os comentários aqui se quiser que a gente escreva isso para MetaTrader e NinjaTrader.
Eu concordo completamente com seus comentários sobre regras mecânicas. É difícil saber o que você está fazendo de errado se fizer algo diferente em cada negociação.
Por muito tempo, eu gostaria de usar o movimento browniano de alguma forma.
É possível compartilhar um código para o Ninjatrader?
Eu realmente aprecio,
Podemos fazer isso em algum momento no futuro, mas não é provável que isso aconteça em breve.
Obrigado Shaun & # 8230; .. por favor, deixe-me saber.
Sim, este é o indicador do Oceano que foi feito por Jim Sloman.

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Por Armando Rodriguez.
Não seria a primeira vez que uma formulação desenvolvida para fenômenos em um campo é usada com sucesso em outro, tem até um nome e é chamada de analogia. Existem muitos exemplos de analogias; a formulação para resolver estruturas mecânicas estáticas é a mesma usada para resolver redes elétricas; notícias difusas como tinta em água parada e muitas outras. Aqui estamos estabelecendo a analogia das mudanças nos preços do mercado FOREX para o movimento browniano.
Também analogias são feitas não apenas para o gozo da simetria da natureza, mas geralmente depois de algum propósito prático. Neste caso, queremos saber quando um algoritmo de negociação não é lucrativo e, portanto, o comércio deve ser suspenso.
O movimento browniano.
O movimento browniano (nomeado em homenagem ao botânico Robert Brown) originalmente se referia ao movimento aleatório observado sob o microscópio de pólen imerso em água. Isso era intrigante porque a partícula de pólen suspensa em água perfeitamente parada não tinha razão aparente para mover tudo. Einstein apontou que esse movimento foi causado pelo bombardeio aleatório de moléculas de água (excitadas pelo calor) no pólen. Foi apenas o resultado da natureza molecular da matéria.
A teoria moderna chama isso de um processo estocástico e foi provado que ele pode ser reduzido ao movimento como um "caminhante aleatório". Um caminhante aleatório unidimensional é aquele que tem a mesma probabilidade de dar um passo à frente como atrasado, digamos, o eixo X, a qualquer momento. Um caminhante aleatório bidimensional faz o mesmo em X ou Y (veja a ilustração).
Os preços das ações mudam ligeiramente em cada transação, uma compra aumentará seu valor, uma venda a diminuirá. Sujeito a milhares de transações de compra e venda, os preços das ações devem mostrar um movimento Browniano unidimensional. Este foi o tema da tese de doutoramento de Louis Bachelier em 1900, "The theory of speculation". Apresentou uma análise estocástica dos mercados de ações e opções. As taxas de urgência devem se comportar muito como uma partícula de pólen na água também.
Espectro Browniano.
Uma propriedade interessante do movimento browniano é o seu espectro. Qualquer função periódica no tempo pode ser considerada a soma de uma série infinita de funções seno / cosseno de freqüências múltiplas ao inverso do período. Isso é chamado de série de Fourier. O conceito pode ser estendido ainda mais para funções não periódicas, permitindo que o período seja infinito, e essa seria a integral de Fourier. Em vez de uma sequência de amplitudes para cada freqüência múltipla que você lida com uma função da frequência, essa função é chamada de espectro. Representação de sinal no espaço de freqüência é a linguagem comum na transmissão de informação, modulação e ruído. Equalizadores gráficos, incluídos até mesmo no equipamento de áudio doméstico ou no programa de áudio para PC, trouxeram o conceito da comunidade científica para o lar.
Presente em qualquer sinal útil é o ruído. Estes são sinais indesejados, de natureza aleatória, de diferentes origens físicas. O espectro do ruído diz respeito à sua origem:
· O ruído de Johnson-Nyquist (ruído térmico, ruído de Johnson ou ruído de Nyquist) é o ruído eletrônico gerado pela agitação térmica dos portadores de carga (geralmente os elétrons) dentro de um condutor elétrico em equilíbrio, o que acontece independentemente de qualquer tensão aplicada . O ruído térmico é aproximadamente branco, o que significa que a densidade espectral de potência é igual em todo o espectro de frequência.
· O ruído de tremulação é um tipo de ruído eletrônico com um espectro 1 / f ou rosa. É, portanto, frequentemente referido como ruído 1 / f ou ruído rosa, embora esses termos tenham definições mais amplas. Ocorre em quase todos os dispositivos eletrônicos, e resulta de uma variedade de efeitos, como impurezas em um canal condutor, geração e ruído de recombinação em um transistor devido à corrente de base, e assim por diante.
· Finalmente, o ruído browniano ou ruído vermelho é o tipo de ruído de sinal produzido pelo movimento browniano. Sua densidade espectral é proporcional a 1 / f 2, o que significa que tem mais energia em freqüências mais baixas, mais ainda do que o ruído rosa.
A importância dessa discussão é que, quando você calcula o espectro do sinal da taxa FOREX, ela tem uma dependência 1 / f 2, o que significa que também é de natureza browniana.
Comportamento no tempo.
O comportamento do mercado FOREX na ausência de eventos também se comporta perfeitamente browniano. Isso quer dizer que as taxas FOREX se comportam como caminhantes aleatórios unidimensionais. A densidade de probabilidade de encontrar um caminhante aleatório na posição x após um tempo t segue a lei de Gauss.
Onde s é o desvio padrão, aquele para um caminhante aleatório é uma função da raiz quadrada de t e é isso que as taxas de FOREX seguem para a perfeição experimental como mostrado abaixo para cotações de EUR / USD na figura 1.
Uma expressão analítica para a figura acima com taxas em pips e t em minutos a partir de um tempo inicial t 0:
Na média, há 45 cotações de EUR / USD em um minuto, portanto, a expressão acima pode ser colocada em termos da cotação após uma data inicial.
Drift e movimentos aleatórios.
O movimento das partículas de pólen pode ser dito ter dois componentes, um aleatório na natureza descrita acima, mas se o líquido tem um fluxo em alguma direção, então um movimento de deriva é sobreposto ao Brownian. O mercado FOREX apresenta os dois tipos de movimento, um componente aleatório de frequência mais alta e movimentos de deriva mais lentos, causados ​​por notícias que afetam as taxas.
O movimento aleatório é ruim para o negócio da especulação; não há como calcular um lucro em um mercado perfeitamente aleatório. Apenas movimento de deriva pode render lucros. A aleatoriedade do mercado não é constante no tempo e nem o movimento da deriva. Durante eventos noticiosos, os movimentos de deriva são grandes e é durante eventos que lucros podem ser obtidos. Mas há eventos mais limpos nos quais os algoritmos automáticos funcionam melhor e há sujos, com muita aleatoriedade, que podem direcionar o algoritmo mais inteligente perdendo.
Temperatura do par de moedas do mercado FOREX.
Em um sistema físico, a intensidade do movimento browniano de uma partícula pode ser tomada como o quadrado médio de sua velocidade aleatória, e isso é proporcional à temperatura e inversamente à massa da partícula.
A velocidade aleatória é a diferença da velocidade total menos a velocidade média ou de desvio.
O verdadeiro sentido de uma velocidade de deriva seria a velocidade média de um grande número de partículas em determinado momento que indicaria que todo o corpo de partículas líquidas e suspensas está se movendo como um todo. Mas, como a velocidade aleatória deve ser média no tempo para zero, a média da velocidade de uma única partícula no tempo também é igual à velocidade de desvio.
Na analogia do mercado FOREX, a taxa do par de moedas é a posição unidimensional da partícula e, portanto, a velocidade a qualquer momento t é o movimento de cotação desde a última cotação no tempo t 0 dividido pelo intervalo de tempo.
A velocidade média seria a média móvel exponencial das cotas.
A temperatura do par de moedas Tcp seria então:
A “massa” de um par de moedas é uma magnitude a ser definida, então a constante de Boltzman não tem significado aqui. Ainda assim, observa-se que a intensidade média de longo prazo do movimento da taxa Browniana depende do par de moedas, de modo que parecem mostrar “massas” diferentes. Encontrar a massa para cada par de moedas permitiria ter uma referência comum para a temperatura. Se tomarmos a massa de EUR como 1, então:
Os valores para as massas dos pares de moedas também podem ser definidos de modo a fazer com que as temperaturas médias da moeda coincidam com a temperatura ambiente na escala Kelvin ou até mais sofisticada, para o Celsius ou Fahrenheit.
As massas acima apresentam uma temperatura média de 300 K, que é igual à temperatura ambiente na escala Kelvin, que corresponde a 27 graus Celsius ou 80,6 Fahrenheit. Mas além de fantasias, não dá uma visão mais profunda do problema. Fazer (m / 3K) = 1, renderiza uma temperatura que é igual à variação das velocidades. Como a raiz quadrada da variância é o desvio padrão, essa definição de temperatura dá uma idéia de quão intenso é o movimento aleatório em pips. segundo.
Detecção de eventos e temperatura da moeda.
Um evento de notícias que afeta o valor do dólar americano pode ser detectado quando suas taxas para o restante das principais moedas mudam consistentemente. Em outras palavras, quando os movimentos da taxa se correlacionam. (Veja o Apêndice A no cálculo do Acionador de Evento)
Uma expressão numérica dessa correlação é a média da diferença para sua MME (Média Móvel Exponencial) sobre todas as principais moedas. O problema com essa abordagem é que as moedas significativas a serem consideradas não são muitas, na verdade, apenas 6 pares podem ser usados. Uma média sobre uma amostra tão pequena não é imune contra o movimento aleatório e propensa a gerar falsos positivos.
A detecção pode ser melhorada se a contribuição para a média for inversamente ponderada pela temperatura do par. Mais precisamente: ponderado pela probabilidade de a velocidade da velocidade observada não ser devida à natureza Browniana do movimento. Sabendo que a distribuição da velocidade nos movimentos brownianos é gaussiana, na ausência de um evento, a probabilidade de observar uma velocidade abaixo de um valor V pode ser calculada pela área abaixo da curva de densidade de probabilidade gaussiana:
Em palavras, a curva está nos dizendo isso: considere o par EUR / USD que normalmente mostra um Ц & lt; Vrdm 2 & gt; de 2,94 pips / segundo, velocidades abaixo deste valor são observadas 68,2% do tempo, além de? Apenas 31,8%. Então, é justo dizer que se uma velocidade observada está acima, digamos 6; é muito improvável (4,4%) que vem de aleatoriedade.
A expressão matemática da probabilidade de uma velocidade V, não sendo aleatória é:
Onde erf (x) é conhecido como a função de erro.
A média de correlação ponderada será agora:
Se as velocidades forem altas para as temperaturas atuais, todos os Ps ficarão muito próximos de um, tornando os valores de disparo muito similares aos valores que seriam obtidos sem o ponderador, é para baixas velocidades que o gatilho será seriamente atenuado, ajudando assim evitar falsos positivos.
Existe uma temperatura de mercado?
Voltando à física, em uma câmara com uma mistura de gases, a energia média de todas as moléculas é a mesma, assim todos os gases têm a mesma temperatura e podemos falar da temperatura da mistura ou da temperatura da câmara. Mas isto é assim porque, mesmo se a temperatura inicial dos gases fosse diferente quando eles fossem adicionados à mistura, suas moléculas acabariam colidindo umas com as outras até que o equilíbrio fosse finalmente alcançado. Se as moléculas não interagissem, cada gás teria mantido sua temperatura original e não haveria temperatura única na câmara. O conceito de uma temperatura de mercado FOREX pode não ter um significado se as moedas não interagirem, ou se a interação for tão leve que o equilíbrio não seja atingido em um período de tempo relevante para transações de eventos. Nenhuma interação desse tipo foi observada até o momento.
APÊNDICE A.
O gatilho do evento.
O acionador é um número calculado projetado para detectar eventos do USD. Um evento do dólar dos EUA é um aumento nas taxas do dólar americano para outra moeda principal causada por algumas notícias sobre a economia dos Estados Unidos que são consideradas relevantes. O gatilho ideal deve ter as seguintes qualidades:
Seja sensível ao início de um evento em USD O sinal deve apontar para o lado do mercado em que você deve ir com cada moeda. Deve ser insensível a eventos em outras moedas Deve ser insensível a movimentos aleatórios Deve se aproximar de zero depois que as moedas se estabilizarem para seus novos valores.
Durante um evento em USD, as seis principais taxas (GBP / USD, EUR / USD, AUD / USD, USD / CAD, CHF / USD e USD / JPY) devem ser consistentes com um aumento ou diminuição do valor em USD. Então, o gatilho deve ser algum tipo de movimento médio nas seis moedas.
Vamos começar a definir "movimento". Quantificar o movimento sempre requer uma referência, em outras palavras, para indicar com precisão o quanto alguma coisa mudou, você deve especificar uma origem ou uma posição anterior. Uma definição trivial de movimento para uma taxa de FOREX poderia ser a última cotação antes da atual, mas essa definição de movimento seria útil para a detecção de eventos? Considere o seguinte caso:
Segundo essa definição de movimento, o movimento para T1 e T2 seria tanto um pip quanto para T3 seria 0 pips. Essa definição não está contando a história, parece bastante óbvio que a taxa em T0 fez uma referência melhor. O problema é que, em T0, não havia como saber que um evento estava chegando.
Mesmo se, por alguma iluminação, tivéssemos conhecido e tomado a taxa em T0 como referência, por T4 o evento teria desaparecido, mas o movimento que respeita a T0 ainda computaria como grande. Uma referência melhor em T4 seria a taxa em T3, em relação à qual o movimento seria 0 pips indicando o fim do evento; mas de novo… se nós soubéssemos em T3 que o evento estava quase terminado.
Uma definição melhor para o movimento é aquela que usa uma média móvel como referência:
Dessa forma, os movimentos em T2 e T3 serão computados como grandes, enquanto os para T0, T1 e T4 computarão tão pouco. O gráfico mostra uma média móvel muito conveniente para esse evento. Uma média móvel pode ser considerada como um filtro digital de baixa passagem para o sinal da taxa FOREX. Filtros digitais, esse é um assunto bastante complexo; Há duas grandes categorias: filtros FIR (resposta de impulso finito) e IIR (resposta de impulso infinito), depois há a ordem do filtro e a frequência de corte. De todas as possibilidades, selecionamos um pólo simples IIR também conhecido como EMA para média móvel exponencial, pois os IIRs têm um melhor poder de suavização com menos atrasos. Como todos os IIR, o EMA tem uma fórmula recorrente (recorrente: usa o último resultado para calcular o próximo):
Um valor maior de K faz uma média mais lenta, enquanto um valor menor permite seguir mais o sinal. Foi determinado empiricamente que, para a maioria dos eventos, 40 apresentavam um bom valor para K.
As moedas movem-se para cima e para baixo o tempo todo, mas é improvável que uma taxa passe mais de 4 pips em um minuto. Durante os eventos, as taxas podem aumentar 10 ou mais pips. É fácil dizer quando um evento ocorreu, mas não é fácil lucrar com isso. Para isso, você não pode esperar até que seja óbvio que haja um evento, porque até lá, a maior parte do movimento terá terminado e poderá nem mesmo cobrir o spread e as taxas envolvidas na transação. Portanto, os eventos devem ser detectados precocemente, quando os movimentos ainda são comparáveis ​​à sua aleatoriedade normal.
A média das seis moedas mencionadas pode ajudar a saber quando os movimentos são consistentes com um evento em USD. Agora vem que as taxas para a média; cada par tem duas taxas: a pergunta e a oferta, a primeira é relevante para uma negociação de compra e, posteriormente, para uma venda. Em um evento em que o dólar enfraquece, você quer comprar GBP, EUR e AUD com USD e vender USD para CAD, CHF e JPY. Nós arbitrariamente chamamos isso de evento “Plus”. Em um evento positivo, as taxas relevantes são a pergunta, para os três primeiros pares e a proposta, para os três últimos, de modo que os movimentos de interesse nessas taxas e na média desses movimentos serão chamados de CorrP (correlação de um Plus ”).
Se o dólar se fortalecer, isso me faria um evento “Minus”, então você quer fazer o oposto, você venderia GBP, EUR e AUD por USD e compraria USD com CAD, CHF e JPY. Agora você deve calcular a média de outras taxas, isso seria CorrM.
Quando CorrP for positivo e acima de um limite determinado empiricamente, é provável que estejamos tendo um evento “Plus”. Considerando que, se CorrM se torna negativo e abaixo deste limiar empiricamente determinado negativo, então provavelmente estamos tendo um evento “Minus”.
Quando uma posição é aberta por causa de um evento "Plus", o CorrM se torna um fator nos critérios de fechamento. Ele indica a probabilidade de as taxas se tornarem mais favoráveis ​​a um trade no lado oposto do mercado, o oposto ocorre para um evento “Minus”.

Como usar a simulação de Monte Carlo com o GBM.
Uma das formas mais comuns de estimar o risco é o uso de uma simulação de Monte Carlo (MCS). Por exemplo, para calcular o valor em risco (VaR) de uma carteira, podemos executar uma simulação de Monte Carlo que tenta prever a pior perda provável para uma carteira, dado um intervalo de confiança ao longo de um horizonte de tempo especificado (sempre precisamos especificar dois condições para o VaR: confiança e horizonte).
Neste artigo, revisaremos um MCS básico aplicado ao preço de uma ação usando um dos modelos mais comuns em finanças: movimento Browniano geométrico (GBM). Portanto, enquanto a simulação de Monte Carlo pode se referir a um universo de diferentes abordagens para simulação, nós começaremos aqui com o mais básico.
Onde começar.
Uma simulação de Monte Carlo é uma tentativa de prever o futuro muitas vezes. No final da simulação, milhares ou milhões de "testes aleatórios" produzem uma distribuição dos resultados que podem ser analisados. As etapas básicas são as seguintes:
1. Especifique um modelo (por exemplo, GBM)
Para este artigo, usaremos o movimento browniano geométrico (GBM), que é tecnicamente um processo de Markov. Isso significa que o preço da ação segue um passeio aleatório e é consistente com (no mínimo) a forma fraca da hipótese do mercado eficiente (EMH) - informações de preços anteriores já estão incorporadas, e o próximo movimento de preços é "condicionalmente independente" de movimentos de preços anteriores.
A fórmula para GBM é encontrada abaixo, onde "S" é o preço das ações, "m" (o grego mu) é o retorno esperado, "s" (sigma grego) é o desvio padrão dos retornos, "t" é o tempo, e "e" (grego epsilon) é a variável aleatória:
Se rearranjarmos a fórmula para resolver apenas a mudança no preço das ações, vemos que a GMB diz que a variação no preço das ações é o preço das ações "S" multiplicado pelos dois termos encontrados dentro dos parênteses abaixo:
O primeiro termo é um "desvio" e o segundo termo é um "choque". Para cada período de tempo, o nosso modelo assume que o preço irá "derivar" pelo retorno esperado. Mas o desvio será chocado (adicionado ou subtraído) por um choque aleatório. O choque aleatório será o desvio padrão "s" multiplicado por um número aleatório "e". Isto é simplesmente uma maneira de escalar o desvio padrão.
Essa é a essência do GBM, conforme ilustrado na Figura 1. O preço das ações segue uma série de etapas, em que cada etapa é um desvio mais ou menos um choque aleatório (em si uma função do desvio padrão da ação):
2. Gerar Provas Aleatórias.
Armado com uma especificação do modelo, nós então passamos a executar testes aleatórios. Para ilustrar, usamos o Microsoft Excel para executar 40 tentativas. Tenha em mente que esta é uma amostra pequena e irrealista; a maioria das simulações ou "sims" executa pelo menos vários milhares de tentativas.
Nesse caso, vamos supor que o estoque comece no dia zero com um preço de $ 10. Aqui está um gráfico do resultado em que cada etapa de tempo (ou intervalo) é um dia e a série dura dez dias (em resumo: quarenta tentativas com etapas diárias em dez dias):
O resultado são quarenta preços de ações simuladas ao final de 10 dias. Nada aconteceu abaixo de $ 9, e um está acima de $ 11.
3. Processar a saída.
A simulação produziu uma distribuição de resultados futuros hipotéticos. Nós poderíamos fazer várias coisas com a saída.
Se, por exemplo, queremos estimar o VaR com 95% de confiança, então só precisamos localizar o resultado do trigésimo oitavo lugar (o terceiro pior resultado). Isso porque 2/40 é igual a 5%, então os dois piores resultados estão nos 5% mais baixos.
Se empilharmos os resultados ilustrados em caixas (cada caixa é um terço de US $ 1, então três caixas cobrem o intervalo de US $ 9 a US $ 10), obteremos o seguinte histograma:
Lembre-se que nosso modelo de GBM assume normalidade; retornos de preços são normalmente distribuídos com retorno esperado (média) "m" e desvio padrão "s". Curiosamente, nosso histograma não parece normal. De fato, com mais tentativas, não tenderá à normalidade. Em vez disso, tenderá a uma distribuição lognormal: uma queda acentuada para a esquerda da média e uma "cauda longa" altamente inclinada para a direita da média.
Isso geralmente leva a uma dinâmica potencialmente confusa para os alunos iniciantes:
Os retornos de preço são normalmente distribuídos. Os níveis de preços são distribuídos normalmente por log.
Pense desta forma: uma ação pode retornar para cima ou para baixo em 5% ou 10%, mas após um determinado período de tempo, o preço das ações não pode ser negativo. Além disso, os aumentos de preços no lado positivo têm um efeito de composição, enquanto as reduções de preço reduzem a base: perdem 10% e você fica com menos para perder na próxima vez.
Aqui está um gráfico da distribuição lognormal sobreposta às nossas suposições ilustradas (por exemplo, preço inicial de $ 10):
The Bottom Line.
Uma simulação de Monte Carlo aplica um modelo selecionado (que especifica o comportamento de um instrumento) a um grande conjunto de ensaios aleatórios, na tentativa de produzir um conjunto plausível de possíveis resultados futuros. Em relação à simulação dos preços das ações, o modelo mais comum é o movimento Browniano geométrico (GBM). O GBM assume que um desvio constante é acompanhado por choques aleatórios. Enquanto os retornos do período em GBM são normalmente distribuídos, os níveis de preços consequentes de vários períodos (por exemplo, dez dias) são lognormalmente distribuídos.

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Por Armando Rodriguez.
Introdução.
As leis da mecânica quântica afirmam que o movimento no nível atômico é inerentemente aleatório. Não há nada inerentemente aleatório no fluxo de taxa FOREX; a lei fundamental é bastante simples. O mercado está constantemente digerindo notícias macroeconômicas que impulsionam as taxas para cima ou para baixo. Uma tendência é a resposta do mercado a um evento econômico conhecido. Se o mercado não está respondendo a estímulos conhecidos, então seu comportamento cai no intervalo aleatório. A probabilidade de lucrar com um comércio relacionado à tendência é alta. A questão do milhão de dólares é: alguém é capaz de lucrar com a parte aleatória do movimento da taxa? Muitos argumentam que existem leis dentro da aleatoriedade que podem permitir lucrar simplesmente analisando o movimento das taxas. O presente artigo argumenta contra essa noção. Lucrar com as negociações na média só é sustentável quando o negócio é aberto em resposta a uma tendência e a tendência é mais forte do que a parte aleatória do movimento da taxa. O conceito de par de moedas é introduzido como uma medida de aleatoriedade. Um mercado quente pode abalar uma tendência que pode facilmente aparecer durante um período frio.
O caminhante aleatório.
Quando há algo bem dito, a citação é a melhor opção e, portanto, veja a descrição da WIKIPEDIA:
Um passeio aleatório, às vezes denotado RW, é uma formalização matemática de uma trajetória que consiste em dar passos aleatórios sucessivos. Os resultados da análise de passeio aleatório foram aplicados à ciência da computação, física, ecologia, economia e vários outros campos como modelo fundamental para processos aleatórios no tempo. Por exemplo, o caminho traçado por uma molécula à medida que ela viaja em um líquido ou gás, o caminho de busca de um animal forrageador, o preço de uma ação flutuante e a situação financeira de um jogador podem ser modelados como caminhadas aleatórias. O termo passeio aleatório foi introduzido por Karl Pearson em 1905.
A caminhada aleatória unidimensional mais simples pode ser descrita como essa “coisa” que caminha em uma trilha e tem a mesma probabilidade de dar um passo específico para frente ou para trás; digamos, dependendo do toque de uma moeda. Este tipo de RW, após N passos, renderiza uma distribuição normal para a posição do andador. Existem outros tipos de RW. Por exemplo, e se as etapas não forem do mesmo tamanho? Existem nomes diferentes para esses RWs, como a caminhada do bêbado ou os voos Levy que renderizam distribuições diferentes do normal. A figura 1 mostra um passeio aleatório bidimensional.
Se as taxas FOREX se comportassem como um RW, algumas conclusões importantes poderiam ser obtidas. Para fazer isso, vamos consultar um banco de dados com as taxas forex (ano de 2009) para provar que ele tem o mesmo comportamento estatístico que um RW. Esta base de dados contém as taxas para os pares das moedas mundiais mais significativas desde 2004.
A variância e o intervalo.
Permita que um RW caminhe N passos repetidamente e a média dos quadrados das distâncias finais para sua posição original será proporcional a N. Essa média é chamada de variância. É claro que se o número de passos for proporcional ao tempo, a variação será proporcional ao tempo que o RW andou.
Vamos considerar um intervalo de 65536 minutos (de agosto a meados de setembro de 2009) e obter a média das variações de 65536 minutos das cotações do EUR / USD; então pegue as médias das 32768 variâncias de dois minutos; em seguida, as 16384 variações de quatro minutos e assim por diante, para a variação de 65536 minutos. Plotando esses dados em um gráfico, obtemos a Figura 2 que mostra uma clara proporcionalidade entre o intervalo e a variância por cerca de cinco décadas. Até agora, o mercado FOREX se comporta como um caminhante aleatório.
O espectro das taxas de Forex.
Não seria a primeira vez que uma formulação desenvolvida para fenômenos em um determinado campo é aplicada com sucesso em outra; até tem um nome e é chamado de analogia. Existem muitos exemplos de analogias; a formulação para resolver estruturas mecânicas estáticas é a mesma usada para resolver redes elétricas; notícias se difundem como uma gota de tinta em água parada e muitas outras. Aqui estamos estabelecendo a analogia das mudanças nos preços do mercado FOREX para o movimento browniano.
O movimento browniano.
O movimento browniano (nomeado em homenagem ao botânico Robert Brown) originalmente se referia ao movimento aleatório observado sob o microscópio de pólen flutuando na água. O movimento observado era intrigante porque uma partícula de pólen suspensa em água perfeitamente parada não tinha razão aparente para se mover. Einstein apontou que esse movimento foi causado pelo bombardeio aleatório de moléculas de água (excitadas pelo calor) no pólen. Foi apenas o resultado da natureza molecular da matéria.
Os preços das ações mudam ligeiramente em cada transação, uma compra aumentará seu valor e uma venda a diminuirá. Sujeito a milhares de transações de compra e venda, os preços das ações devem mostrar um movimento Browniano unidimensional. Este foi o tema da tese de doutoramento de Louis Bachelier em 1900, "The Theory of Speculation". Apresentou uma análise estocástica dos mercados de ações e opções. Sugerindo que as taxas de FOREX também podem se comportar como partículas de pólen na água é apenas para a frente.
Espectro Browniano.
Uma propriedade interessante do movimento browniano é o seu espectro. Qualquer função periódica no tempo pode ser considerada como a soma de uma série infinita de funções seno / cosseno de freqüências múltiplas ao inverso do período, também conhecidas como harmônicas, sendo a potência do sinal a soma dos poderes de todos estes. componentes sinusoidais ou harmônicos. Isso é chamado de série de Fourier. O conceito pode ser estendido ainda mais para funções não periódicas, na verdade, nenhum sinal útil pode ser perfeitamente periódico, porque, então, ele não poderia conter nenhuma informação e, portanto, não seria um sinal, seria? Formas de onda reais podem ser, no máximo, aproximadamente periódicas durante um intervalo de tempo limitado.
O conceito da série de Fourier pode ser expandido para formas de onda não periódicas, permitindo que o período seja infinito. Mas, se isso for permitido, o intervalo de freqüência entre os componentes de Fourier se tornará infinitamente pequeno e, portanto, o poder de cada componente. O poder em um intervalo de freqüência finito será um valor finito porque será a soma de um número infinito de componentes muito pequenos; a série de Fourier tornou-se o Integral de Fourier. Em vez de uma série de componentes sinusoidais, cada um com sua contribuição de energia para o sinal, agora há um continuum de densidade de potência (potência por intervalo de frequência, como Watts / Hz). Para qualquer forma de onda há densidade de potência em função da freqüência, essa função é chamada de espectro dessa forma de onda. Signal representation in the frequency space is the common language in information transmission, modulation and noise, but graphic equalizers, included even in the home audio equipment and PC audio programs, have brought the concept from the science community to the household. Figure 3 shows a spectrum of the music being played on the Microsoft’s Windows Media Player © .
Present in any useful signal, is noise. These are unwanted signals, random in nature, from different physical origins. The spectrum of noise relates to its origin:
· The Johnson–Nyquist noise ( thermal noise , Johnson noise , or Nyquist noise ) is the electronic noise generated by the thermal agitation of the charge carriers (usually the electrons) inside an electrical conductor at equilibrium, which happens regardless of any applied voltage. Thermal noise is approximately white, meaning that the power spectral density is equal throughout the frequency spectrum.
· Flicker noise is a type of electronic noise with a 1/f, or pink spectrum. It is therefore often referred to as 1/f noise or pink noise , though these terms have wider definitions. It occurs in almost all electronic devices, and results from a variety of effects, such as impurities in a conductive channel, generation and recombination noise in a transistor due to base current, and so on.
· Finally Brownian noise or red noise is the kind of signal noise produced by Brownian motion. Its spectral density is proportional to 1/f 2 , meaning it has more power at lower frequencies, even more so than pink noise.
Measurement of the FOREX Quotes Spectrum.
So if the analogy is to hold, the “power” spectrum of the FOREX quotes should follow a 1/f 2 law. In a signal, power goes with the square of its voltage amplitude, current amplitude or displacements, whatever the signal is about. So, the square of the amplitudes of the quotes spectrum should go with 1/f 2 if its behavior was Brownian.
The process for obtaining a spectrum goes like this:
· The FOREX signal must be sampled at a specified interval of T seconds.
· The number of samples N to be taken must be a power of 2, like 256, 512 or 4096.
· A Fast Fourier Transform (FFT) must be applied to those samples.
· The spectrum obtained goes from 0 to 1/2T Hz in increments of 1/NT.
· Each discrete component is squared and divided into the frequency interval to obtain the power density.
A query was implemented to sample the EUR/USD quotes every 50 ms, starting on the midday of Monday August 3 rd of 2009 and took 4096 samples, covering approximately 7 minutes. Next, the same query was run with a sampling interval a thousand times larger, a 50 second interval. EXCEL 2007 data analysis tool, which accepts sets only up to 4096 samples, was used for obtaining the FFT of the mentioned samples sets. Charted results using a log/log scale are shown on Figure 5, where 6 full decades of 1/f 2 behavior can be observed; this is from periods of 100 ms to 27 hours.
But wait, there’s more; it is easily proved that a signal with 1/f 2 spectrum renders, for any given time interval, an average power that is proportional to the time interval; but power is also proportional to the variance of the signal, so saying that a FOREX data stream has a variance proportional to the time interval and that it has a 1/f 2 spectrum, is actually saying the same thing. This also says that something with a Brownian spectrum behaves like a Random Walker. Since variance proportionality to time interval holds from 1 minute to 45 days, as proven above, then we can extend the validity of the Brownian spectrum of the FOREX rates from periods 100 ms to 45 days, almost 8 decades!
Market Inertia?
There are trade strategies out there, like MACD that are implicitly based on the belief that the FOREX market has some sort of inertia. In other words, that it can hold some “momentum”; that a trend is somehow more likely to hold than to change. Could the FOREX market be so and still show a 1/f 2 spectrum?
Sticking to the mechanical analogy, let’s assume the rates as a massive body, connected by some mechanical means to a white noise force (constant spectrum), representing the myriad of transactions that drive the market. There is no mechanical means perfectly rigid, so some elasticity and losses must be involved. The resulting spectrum for the motion of the mass in a system like this is called Lorentzian (Figure 6). For high frequencies, this system actually shows a 1/f 2 spectrum, just like the Brownian, but for low frequencies, the mass can follow the driving force (with an inertial lag), showing its white or constant spectrum. When going from the low to the high frequency zones, these systems may show a more or less smooth transition or even a resonance.
It is the low frequency zone the one that can be associated with an inertial behavior, so a believer in the market inertia may still argue that the transition frequency period may be longer than the 45 day lower limit of the study presented here. This is an impossible argument to beat, since no matter how low in frequency you go, a transition may still exist at a frequency lower than the one you reached.
The problem would then be about the practical value of the concept of market inertia. If such a behavior only showed for periods much longer than 45 days, it is unlikely that it can be useful to a trader that is unlikely to hold a position for that long.
Is the FOREX Rate Sequence a Martingale?
The term martingale originally referred to a set of betting strategies popular in France by the 18 th Century. These strategies, though appealing at first, could lead to bankruptcy if actually followed.
The simplest of these strategies is the one in which the gambler doubles his bet after every loss, so that the first win would recover all previous losses plus win a profit equal to the original stake. Sounds great, but the exponential growth of the bets would eventually bankrupt anyone who chooses to gamble by this Martingale.
The modern concept of martingale in probability theory was introduced early in the 20 th century by Paul Pierre Lйvy, and much of the original development of the theory was done by Joseph Leo Doob among others. The motivation for that work was to show the impossibility of successful betting strategies. This modern concept of martingale applies, not to strategies, but to Stochastic Processes. In other words, these Stochastic Processes are sequences of a random variable, in which systematic winning is impossible, no matter what strategy is followed. One of the many theorems proved for the RW is that it generates a martingale sequence.
One very appealing trade strategies in the FOREX market is that of setting a target profit smaller than the loss limit. The argument is that winning little is a lot more likely than losing big. This last assertion is true, but here’s this RW theorem: it says that the probability of reaching point b , without hitting first point – a is a/(a+b) . So assume that b is the profit target and a , the loss limit, then the winnings in the average will be:
The average losses:
The overall winnings T, even in the absence of spreads and fees, would be W – L = 0.
So again, if the FOREX rates followed an RW, this strategy would render no profit. A query was devised for testing this directly. Starting from a specified date, the query checks the quotes of a specified pair for being over a given upper limit b pips above the present quote or under an, also given, lower limit a pips below. If the quotes go beyond any of the limits, it increments the corresponding count and repeats the process. The query stops at a specified number of wins ( b hits), the results for a = 100 and b = 10 and starting by 3/3/2009 are shown in Table 1. The probability for hitting b , as from the RW theorem, would be 10/(10+100) = 0.909; measured frequency ratios were 8000/(856+8000) = 0.9033. Though this only disproves one of the many proposed strategies, it is the author’s opinion that the answer to the question is a YES, FOREX sequences are martingales.
The FOREX Pair Temperature.
Figure 2 may deceive the reader into believing that a 1 minute interval always renders a 10 -8 variance, but that is not true at all. Had a different starting date than 8/1/2009 been chosen, the straight line in Figure 2 , though remaining parallel to it, could had move up or down. But even with the same starting date, that 10 -8 is not the minute variance for midnight of 8/1/2009, but an average over all the 65536 one minute intervals. The actual individual minute variances surely dispersed a lot. For instance, Figure 7 shows how the hourly variances move during a week.
Besides being far from constant, a pattern may also be easily noticed. Variances are small around midnight and peak sometime during the day, especially on Friday.
In the Brownian motion, observed variances in any given time interval are proportional to the temperature of the liquid that suspends them. Following the analogy, the variance of the FOREX quotes may be related to some “market temperature” for a given pair. Then we can say that the market cools by night and warms up by day or that the market if hot today for, say the USD/JPY.
This is as far as the analogy goes because there is a basic difference between a physical Brownian system and a FOREX market pair. In the first, the internal energy of the system is conserved, meaning that for cooling or heating it, energy must be drained from or supplied to the system and this involves time. On the other hand, quotes energy may disappear or appear without any draining/supplying being involved, this because the market has no such thing as inertia. For making a market temperature behave as a Brownian system the stability must be artificially built in by using a running average instead of a sequence of values.
To speak in temperature terms, variances may be stretched into a familiar scale, for instance one that compares to room temperatures in Fahrenheit. One possible definition would be that of setting, say the 2009 average variance to 77 ° F. An alternative scale, more familiar to the Europeans, would be a Celsius scale in which the average would be set to 25 ° C. An example of temperature history for EUR/USD is shown in Figure 8 using an absolute Kelvin scale.
Is a Hot Market Good or Bad?
· Louis Bachelier suggested that the stock market rates behaved like a random walker in is PhD thesis, so why shouldn’t it be the same for the FOREX market?
· A statistical test proved that variance and the spectrum of the FOREX market were consistent with the random walker behavior in periods ranging from 100 ms to 45 days.
· Market inertia was shown to be inconsistent with the observed FOREX spectrum, leaving no reason to believe in trading strategies based on such an assumption (i. e., MACD).
· Early in the 20 th century, Paul Pierre Lйvy and Joseph Leo Doob, among others, proved that there could be no possible winning strategy in any fair (perfectly random) game, using the term Martingales to classify such stochastic sequences. A random walk generates a martingale, so having proved that FOREX rates behave as such, then they must also be martingales.
· Another statistical test on the rates during a six month period within 2009 showed that FOREX rates complied with one of the basic random walker theorems, directly disproving the commonly proposed strategy based on the notion that profiting little is way more likely than losing big.
Based on the above, it is this author’s opinion that hot is bad. Being the FOREX sequences martingales, no trading strategy will render average profits in a long run. A trader can only profit after a timely identification of a trend. A trend can be forecasted if a cause that leads to a market change is known before the transition is over, but at the same time, there can be a myriad of other causes, unknown to the trader, that can add up to cancel the effect of the said known cause. The effect of the unknown causes is perceived by the trader as random motion of the quotes and randomness could hide a trend. So for this hypothetical trader, a hot market is bad for profiting on a trend.
However, traders that believe in Technical Analysis may not agree to the above. They believe that there may still be hidden laws driving the quote sequences and if that was true, then the hotter the market the greater the potential profits. Yet …Technical Analysis has believers, but no billionaires.

Brownian motion forex

This article was originally posted by Jared Dillian at Mauldin Economics.
Yes, DJing is a hobby of mine. I’ve been doing it for about seven years, picking it up late in life. Call it midlife crisis number one.
I have had a pretty fun DJ career, all things considered. I’ve played in a couple of really famous clubs, and I’ve done all kinds of private parties—parties where people have gone nuts . I post my mixes online for people to enjoy. I’ve spent way more money than I’ve earned (especially on music—I pay for all my tracks). But it’s been worth it.
Most people here are probably dimly aware of the electronic-music phenomenon that’s been happening worldwide, but they might not know or understand what DJing is all about. A DJ plays recorded music live. É isso aí. He chooses the order of the songs. In the old days, this was done via vinyl records, and there was a great deal of skill involved in adjusting the speed of the records to match the beats. Nowadays, you can get a computer to do that for you if you want, though the annoying purists will hate you for it.
None of this sounds hard, right? Why do people consider it an art form? Well, first of all, the DJ is a curator of music. This is more difficult than it sounds. It’s not like pop music, where the same ten songs play on the radio on a loop. If you’re into underground music like me, you’re digging deep to find great tracks that nobody has ever heard before. In the old days, this would entail spending hours at the record store. Now you can do it online. But it’s still a lot of work.
Is the curator an artist? Sim e não. Think of the museum curator—he decides what paintings to hang and what order to hang them in. A DJ does the same thing. It’s an art form that is not fully appreciated. Back when I lived in New York and went to clubs, there was a progressive house DJ named Zack Roth who used to warm up for all the big trance acts that came to town. I was obsessed with being a warm-up DJ. The warm-up DJ goes on first, around 10 p. m., and plays dark, deep stuff, gradually bringing up the energy (and the tempo) until he’s whipped the crowd into a frenzy just as the main event comes on. Zack Roth was the master.
All this is done by playing songs in a particular order. Surpreendente!
Why does this work? Well, it works because you have memory . You may not notice the transition from one song to the next, but you will notice the increase in tempo, the rise in energy. Over the course of a few hours, you will have noticed that you started at 1 and ended up at 10.
If you had no memory—if you had the memory of a goldfish and you couldn’t even remember the last song played—DJing wouldn’t work. You could play the songs in whatever order; it wouldn’t matter. The only song that would matter would be the one you were currently playing.
Path Does Matter.
There is a concept in finance known as path dependency . Like, the price of a security goes from A to B over time. Does it matter what path it took to get there?
In the derivatives markets, this question is of crucial importance. There are some exotic options, like lookback options, whose price actually depends on the path the asset takes. But with plain-vanilla puts and calls, path doesn’t matter—all that matters in the pricing of the option is where the asset is currently .
It seems obvious that path would be super important, though. Think of it this way: right now the S&P 500 is at about 2,000. You know what path it took to get there. It went down to 666 in the financial crisis and has basically gone up for six years straight, until today. People are pretty bullish, right? The market has been going up every single year, for six years.
But what if the market had gone down to 666, then up to 4,000, then crashed to 2,000? This is a stupid example, but not really. Would people feel the same with the SPX at 2,000 if it had taken this path, crashing 50%, rather than the previous one, where the market went straight up?
Claro que não. If the market had arrived at 2,000 by going down 50%, nobody would be bullish at all.
Path really matters. Here’s another example.
The Gas Tax and Path Dependency.
Gas prices were really high over the last several years. Even if you’re not a financial expert, you can probably tell me the approximate path of gasoline prices over the last 20, 30 years. Because you remember.
So gas prices were high for years, running up to $4 a gallon and more—until they suddenly crashed, dropping by over 50%.
Did you see what happened next?
Politicians started calling for an increase in gas taxes. Por quê? Because people were used to high gas prices and could easily absorb an extra 10 cents on the gallon.
What’s interesting is, if gasoline had been $2 all along—or, say, it had been at $1 for 10 years and then had gone up to $2—there is no way politicians would have been calling for gas tax hikes. People would be furious. So gas prices are path dependent!
Well… so is everything else.
EMH Is Dead.
The Efficient Market Hypothesis is the idea that all information (including the path of previous stock prices) is reflected in current stock prices.
Even in the age of the Internet, this is not true.
There was a 60 Minutes episode on curing cancer last Sunday. The biotech guys have known about this for years. The information is publicly available, but unsurprisingly, most people don’t make the effort to learn about that stuff. It takes time for information to travel, sometimes a long time.
Most options are priced with similar assumptions. They’re modeled on something called geometric Brownian motion , which describes the behavior of a particle suspended in gas. The particle has no memory. It is path independent. But unlike the particle, the market has memory. People have memory. And as we demonstrated, it is path dependent. So its behavior will not be a true random walk.
People are slowly learning what the quant guys have known for years: the market is not random, and you can profit from that. There would be no commodity trading advisors (CTAs) if the market were random. But the guys who have disproved market efficiency are making too much money to bother filling out a Nobel Prize application.
This is the problem technical analysis claims to solve. The technical guys are half right. The market is path dependent, yes, and they have constructed a set of rules to describe this behavior. Problem is, sometimes the rules work… sometimes they don’t. Technical analysis is most helpful as a guide rather than gospel.
This is a roundabout way of saying that the efficient-market people who tell you that you can’t beat the market so you shouldn’t try—well, those people suck. Don’t hang around with those people. Deep down, I have always felt that you should try. Anything worth doing is worth doing well.
Dekalog’s Brownian Motion Indicator.
Dekalog Blog is an interesting site where the author, Dekalog, attempts to develop new and unique ways to apply quantitative analysis to trading. In a recent post, he discussed using the concept of Brownian Motion in a way that would create bands around a chart’s closing prices. Those bands would represent non-trending periods, and a trader could identify any time the price was outside the bands as a trending period.
Dekalog’s method of using Brownian Motion creates upper and lower bands that define trending conditions.
At the root of most every trend following trading system is a way to define a trends existence and determine its direction. Using Dekalog’s Brownian Motion idea as the root of a system might be a unique way to identify trends and extract profits from markets through those trends.
Here is how Dekalog explains his concept:
The basic premise, taken from Brownian motion, is that the natural log of price changes, on average, at a rate proportional to the square root of time.
Take, for example, a period of 5 leading up to the “current bar.” If we take a 5 period simple moving average of the absolute differences of the log of prices over this period, we get a value for the average 1 bar price movement over this period.
This value is then multiplied by the square root of 5 and added to and subtracted from the price 5 days ago to get an upper and lower bound for the current bar.
He then applies these upper and lower bounds to the chart:
If the current bar lies between the bounds, we say that price movement over the last 5 periods is consistent with Brownian motion and declare an absence of trend, i. e. a sideways market.
If the current bar lies outside the bounds, we declare that price movement over the last 5 bars is not consistent with Brownian motion and that a trend is in force, either up or down depending on which bound the current bar is beyond.
Dekalog also believes this concept could have value beyond just being an indicator:
It is easy to imagine many uses for this in terms of indicator creation, but I intend to use the bounds to assign a score of price randomness/trendiness over various combined periods to assign price movement to bins for subsequent Monte Carlo creation of synthetic price series.

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